1, 2, 3, 4, 5, 6

Eu sempre digo para as pessoas não jogarem na loteria, mas a maioria acha que é chatice minha. E é mesmo. Só que é chatice embasada matematicamente.

Por isso, desenvolvi esse texto tentando ser o mais claro possível, fazendo uso de desenhos e analogias simples, com uma linguagem acessível. Espero que, ao final da leitura, você esteja preparado para aceitar meu desafio.

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Comecemos com a pergunta chave: você apostaria na Loteria uma combinação de números em sequência? Em outras palavras, você investiria seu dinheiro apostando na combinação 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Não? Parabéns, você está com a maioria. E por quê? Ora, responde a maioria (e eu imagino que você também), porque é praticamente impossível que sejam sorteados estes números assim, na sequência exata! E até aqui eu concordo com você – e com a maioria.

Vem então a segunda pergunta: e em uma combinação de número aleatórios (por exemplo: 9, 12, 25, 27, 49, 55), você apostaria? A resposta da maioria (e talvez a sua) costuma ser: claro que sim! Não só jogaria como jogo toda semana! E completa: porque é muito mais provável que seja sorteada uma combinação de números aleatórios! Portanto, eu tenho muito mais chance de ganhar apostando em uma combinação assim. Bom, é aqui que o bicho pega (não o jogo-do-bicho, esse eu discutirei em uma outra oportunidade).

O problema é que a primeira frase está correta, mas a segunda não. De fato, é muito provável que o sorteio da loteria contemple uma combinação de números aleatórios, MAS, ao apostar em uma linda e caótica combinação de números aleatórios, sua chance de se tornar um milionário não será nem um pouco maior do que a de quem resolve apostar na petulante combinação de números em sequência.

Nesse momento, tochas são acendidas e gritos de ordem ecoam na praça: “Heresia! Blasfêmia matemática! Todo mundo sabe que é muito mais provável ganhar com uma combinação de números aleatórios!”

Não é?

Não, não é. Desculpe. Se você tivesse jogado 1, 2, 3, 4, 5, 6 a sua vida inteira, teria tido a mesma chance de ganhar.

Como assim? Vamos lá.

Imagine um globo daqueles de bingo onde caibam 60 bolas, como na imagem abaixo. Qual é a chance de que seja sorteada qualquer uma das 60 bolas? Uma chance em sessenta, ou 1 em 60. Se você apostar sempre no número 36, por exemplo, será o vencedor a cada mais ou menos 60 sorteios.

bingo1

Agora imagine que nós retiremos de dentro do globo todos os números pares, com exceção do 2, formando uma situação como a da imagem abaixo. Teremos, então, 31 bolas dentro do globo de bingo: todos os 30 números ímpares de 1 a 59, mais o número 2 como único representante dos pares. Qual é a chance de ser sorteada qualquer uma das bolas do globo? Uma chance em 31, qualquer que seja a bola.

bingo2

Eu então pergunto: escolha um número nesse globo para apostar seu dinheiro – lembre-se que tiramos todas as bolas pares, com exceção da 2. Qual número você escolheria?

Nessa hora, o raciocínio típico é o seguinte: há 30 bolas ímpares dentro do globo, e apenas uma par. A chance de sair um número ímpar é de 30 em 31, mas a chance de sair um número par (o número 2) é de apenas 1 em 31. Por isso, tenho mais chances de ganhar se escolher um número ímpar. Certo?

Não, errado. Sua chance de ganhar escolhendo um número ímpar é exatamente a mesma de ganhar escolhendo o pobre e solitário número 2.

Perceba que se a pergunta fosse: você aposta que será sorteado um número ímpar ou par?, então você faria muito bem em apostar que será sorteado um número ímpar, qualquer que fosse ele. Afinal, a chance de que saia do globo uma bola ímpar é de 30 em 31, e apenas uma chance em 31 de que saia uma bola par. Mas a pergunta é diferente: você aposta que será sorteado qual número? Estamos falando de apenas um número, independentemente dele ser par ou ímpar. Se você escolhe uma bola ímpar, por exemplo a 43, ela é apenas uma entre as outras 31 bolas, exatamente a mesma situação da bola de número 2. O mesmo raciocínio vale para quaisquer das outras bolas ímpares. A chance para cada uma delas de ser sorteada é, individualmente, a mesma: 1 em 31 – mesmo que elas estejam dentro do grupo que tem mais chances de ser sorteado, ou seja, o grupo dos números ímpares.

Simples, não? Não importaria se esse globo de bingo tivesse 1.000 números ímpares e apenas um par: estatisticamente, a chance individual de qualquer bola seria exatamente a mesma, mesmo se sabemos que, muito provavelmente, será contemplado um número ímpar no sorteio. Você poderia facilmente apostar no número 2 sem se passar por otário(a).

Agora vamos transpor o raciocínio para o universo da loteria – é aqui que os ânimos costumam ficar exaltados. Tomemos como exemplo a Mega-Sena: nela, o jogador deve montar sua aposta escolhendo 6 números entre 1 e 60 (é possível montar o seu jogo usando mais de 6 números e pagando mais caro por isso, mas vamos nos limitar à análise do jogo básico de 6 números). Nessas condições, são possíveis 50.063.860 combinações diferentes.

Não se assuste com o cálculo. Vamos usar um exemplo concreto: a combinação proposta no início deste texto – 9, 12, 25, 27, 49, 55.

No primeiro sorteio, a chance de cada bola ser sorteada é 1 em 60. Como você tem seis bolas no seu jogo e não importa a ordem em que as bolas saem, somam-se as chances de cada bola, e a sua chance total de acertar um número no primeiro sorteio é de 6 em 60. Uma vez que um de seus seis números tenha sido contemplado, por exemplo o 49, os números restantes serão 9, 12, 25, 27, 55. Haverá uma bola a menos dentro do globo, e a chance de que um segundo número da sua aposta seja contemplado será de 5 (quantidade de números restantes no seu jogo) em 59 (quantidade de números restantes no globo de sorteio). Se você, no segundo sorteio, acerta mais uma bola, a 9 por exemplo, seu jogo agora passará a ser formado pelos números restantes 12, 25, 27, 55. A probabilidade de que acerte um terceiro número será de 4 em 58, e assim sucessivamente. Matematicamente, isso é expresso da seguinte maneira:

probabilidade

Ou seja, sua chance de ganhar na Mega-Sena é de uma em 50.063.860 sorteios.

O problema é que essa afirmação é verdadeira independentemente de sua aposta ser formada por uma combinação de números aleatórios ou sequenciais. Pois é. E agora você já tem conhecimentos matemáticos suficientes para entender o porquê.

Considere a combinação de números sequenciais 1, 2, 3, 4, 5, 6. No primeiro sorteio, a chance de cada bola é, individualmente, 1 em 60, e sua chance total de acerto, considerando os 6 números que fazem parte da sua aposta, é de 6 em 60. Uma vez que tenha saído um dos números, digamos o 2, seu jogo agora será formado por 1, 3, 4, 5, 6, e a chance de que você acerte um segundo número será de 5 em 59, e assim sucessivamente. O importante aqui é compreender que a chance individual de cada bola é sempre a mesma – lembre-se do exemplo lá de cima, em que o globo tinha apenas uma bola par em meio a 30 ímpares, e todas tinham a mesma chance de ser sorteada. Não importa se sua aposta da Mega-Sena é formada por uma sequência de números aleatórios ou sequenciais, ela terá sempre a mesma probabilidade de ser contemplada.

Conclusão: quando você faz uma aposta de números aleatórios, é como se tivesse feito uma aposta de números sequenciais. Jogar 9, 12, 25, 27, 49, 55 ou 1, 2, 3, 4, 5, 6 é, para fins de probabilidade, a mesmíssima coisa. Não sou eu que estou dizendo isso, é a matemática – ciência que tem a irritante mania de ser exata. Na Mega-Sena, existem apenas 55 combinações de números sequenciais (começando em 1, 2, 3, 4, 5, 6 e terminando em 55, 56, 57, 58, 59, 60), e dezenas de milhões de combinações aleatórias. Sabemos que no próximo sorteio da Mega-Sena, MUITO PROVELMENTE o jogo vencedor será formado por uma combinação de números aleatórios; entretanto, lembre-se: a pergunta não é você aposta que será sorteada uma combinação de números sequenciais ou aleatórios?, a pergunta é: você aposta que será sorteada qual combinação específica? As pessoas que apostarem em uma combinação aleatória não terão mais chances de ganhar do que aquelas que escolherem uma combinação de números em sequência – 1, 2, 3, 4, 5, 6.

megasena_1

C.Q.D.

Já faz algum tempo que uso oralmente a argumentação exposta neste texto. As pessoas ouvem com atenção e, ao serem indagadas se entenderam tudo, respondem que sim. Dizem que a parte da matemática ficou clara, e que ficou bem óbvio o fato de que apostar numa combinação aleatória ou sequencial é a mesma coisa. Eu então pergunto: você vai continuar jogando na loteria? E a resposta é invariavelmente a mesma: SIM! “Eu sei que a chance é muito pequena, mas não custa nada tentar!”

No começo eu me aborrecia com isso, mas agora entendo que existe um abismo entre a compreensão teórica destes argumentos e o entendimento de sua aplicação na vida real. Por isso, peço que você guarde com carinho as informações contidas neste texto, e aceite o desafio que eu vou lançar.

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DESAFIO

Em sua próxima ida à casa lotérica, pegue um papelzinho de apostas a mais. Depois de preencher a sua combinação habitual (ou combinações habituais, caso você seja daqueles jogadores inveterados), preencha no papel extra o jogo 1, 2, 3, 4, 5, 6. Olhe para ele e perceba o quão inútil seria apostar nessa combinação. Coloque esse jogo lado a lado com os demais e perceba: eles valem exatamente a mesma coisa.

Olhe bem para o jogo abaixo. Você apostaria 1, 2, 3, 4, 5, 6? Não? Pois, agora que já sabe que essa combinação tem a mesma chance de ganhar que as demais, por que você apostaria qualquer outra combinação? Você ri ao olhar para o 1, 2, 3, 4, 5, 6? Pois, ao fazer isto, você está rindo de todos os seus outros jogos!

megasena_2

Se mesmo assim você decidir continuar apostando na loteria, o desafio muda de figura: você fica agora intimado a incorporar o 1, 2, 3, 4, 5, 6 entre seus jogos habituais. Você terá de suportar esse jogo ridículo na sua mão toda semana, ao se dirigir à casa lotérica, e sentir 2 reais indo embora por algo que é obviamente um disparate. Quem sabe então, um dia, você finalmente perceba o quão sem sentido é insistir nesse hábito. Sim: cada vez que você aposta na loteria, é essa a sua chance de ganhar: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Enfie isso na cabeça.

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P.S.: pedi a um amigo formado em matemática que revisasse esse texto e a correção do raciocínio exposto. Ele mandou de volta as correções necessárias e, de brinde, uma piada de matemáticos:

o governo estava bolando uma forma de aumentar a arrecadação, e pensou em criar um imposto que seria cobrado das pessoas que não sabem matemática – quanto menos a pessoa entendesse de matemática, mais imposto pagaria. Depois de uma análise criteriosa, tiveram de abortar o plano, pois perceberam que tal imposto já existia: chamava-se loteria.

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P.S. 2: o portal Terra tem um simulador de jogos da Mega Sena que é bem interessante. Permite simular jogos de 6 a 25 números em um intervalo de até 10 anos. Clique, simule uns joguinhos e sinta o drama.

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4 Respostas to “1, 2, 3, 4, 5, 6”

  1. Paulo Silveira Says:

    otimo post, bem colocado. me fez evitar de jogar na sena, e seria a primeira vez na vida :).

  2. Edilson Says:

    Adorei o Post.Incontestável.

  3. Robi Says:

    Adorei

  4. taymara Says:

    gostei e uma prova provada

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